样条函数赋能物理信息AI求解动态边界问题

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论文“Physics-informed artificial intelligence with splines for modeling advection–diffusion–reaction under dynamic boundaries”于2026年2月发表于Digital Engineering期刊。本文由法国里尔大学、荷兰埃因霍温理工大学的R. Belmonte等人完成。本研究提出了物理知情深度算子网络及其改进架构，用于快速模拟具有时变边界条件的对流-扩散-反应（ADR）系统，通过混合专家策略和样条函数提升复杂输入下的模拟精度与效率。

DOI：https://doi.org/10.1016/j.dte.2025.100083

本文提出基于物理信息的深度算子网络，用于快速模拟具有时变边界条件的对流-扩散-反应系统。针对传统物理信息深度算子网络在多输入组合下精度下降的问题，作者提出分布式架构与专家混合模型，采用样条函数参数化边界条件。以吸附塔为案例，所提方法在复杂边界条件下达到平均反正切绝对百分比误差约0.2，推理时间低于10毫秒，相比传统数值方法提升显著。

对流–扩散–反应系统是一类典型的由偏微分方程进行描述的耦合系统，广泛存在于化工、生化反应器、吸附分离与传质传热等过程之中。传统数值方法虽具有较高精度，但通常依赖离散化求解，计算代价高、响应速度慢，难以满足在线优化、快速控制与数字孪生场景对实时性的要求。

基于物理约束的神经网络方法为复杂机理系统提供了新的替代思路，其中PINNs能够在满足物理规律的前提下逼近偏微分方程解，而DeepONets则擅长学习从函数输入到解空间的算子映射。然而，当入口边界条件随时间动态变化，尤其呈现复杂组合或非规则波形时，现有模型在表达能力、泛化性能和训练稳定性方面仍存在明显局限。

基于此，本文尝试将物理信息算子学习、分布式建模和专家混合机制结合起来，构建更适合复杂动态边界的高效代理模型。

文章首先从问题建模出发，系统阐述了ADR系统的物理背景及其在工业反应器中的代表性意义。作者指出，ADR系统通常由多个相互耦合的偏微分方程组成，不仅存在明显的时空相关性，还受到初始条件、入口边界和系统参数变化的共同影响，因此属于典型的高复杂度物理系统。针对这类问题，传统数值求解虽可作为“真值”参考，但在多场景重复仿真时成本过高。

在此基础上，作者进一步讨论了“参数化边界条件”的建模思想，即不再将整条时间变化边界曲线直接输入模型，而是通过一组可控参数描述其主要形态特征，以降低输入维度并提升训练效率。论文以斜坡函数、正弦函数及其加性或乘性组合为例，构建了一类统一的边界表达形式，用于模拟更接近真实工业过程的动态入口扰动。该策略在一定程度上兼顾了边界表示能力与模型复杂度，但也暴露出简单参数化形式对复杂边界形状的表达能力不足，为后续引入样条表示和专家混合架构埋下了理论动因。

本文在PINNs与DeepONets基础上，提出分布式物理信息深度算子网络，用于求解具有时变入口边界条件的对流–扩散–反应系统。

研究将不同类型的边界输入（如常值、斜坡、正弦及其组合）参数化编码，使模型能够将边界条件作为输入直接学习系统响应；同时通过分布式结构分别建模耦合偏微分方程，以改善单一DeepONet在复杂耦合系统中难以收敛的问题。

以固定床吸附柱为验证对象的实验表明，该方法在简单和中等复杂边界条件下能够较好逼近传统数值解，且推理速度远快于基于MOL的常规求解方式，但在混合型复杂边界条件下泛化能力仍然有限，因而需要更灵活的结构进一步提升精度。

针对分布式PI-DeepONets在复杂混合边界条件下表现受限的问题，作者进一步引入混合专家机制与样条函数表示，构建面向复杂动态边界的混合分布式PI-DeepONets框架。该方法通过多个专家网络分别学习不同边界模式，再由门控网络自适应分配权重；同时采用B样条对时变边界进行紧凑而灵活的参数化表达，使模型能够覆盖更丰富的输入形态并提升对未见工况的泛化能力。

结果表明，相较普通分布式DeepONets，加入MoE与样条表示后，模型在复杂边界条件下精度进一步提高，平均误差约降低20%，并保持毫秒级推理效率，显示出其在实时预测与在线优化中的应用潜力。

本文围绕动态边界条件下ADR系统的快速建模问题，提出了从PI-DeepONets到分布式PI-DeepONets，再到融合样条表示与专家混合机制的MoD/PI-DeepONets的完整技术路线。

研究表明，单一DeepONet难以稳定处理耦合偏微分方程与复杂边界输入，而分布式结构能够提升收敛性，样条函数能够增强边界表示能力，专家混合机制则进一步提升了复杂输入场景下的精度与泛化性能。最终模型在复杂边界条件下实现了约20%的精度提升，并将推理时间控制在10毫秒以内，展现出面向化工数字孪生、在线预测、实时优化和智能控制的应用潜力。

作者进一步指出，未来可从引入温度等更多状态变量、优化门控网络设计、调整专家数量与样条控制点、采用量化/剪枝降低开销，以及探索NURBS、KAN和不确定性建模等方向继续拓展模型能力，使其更好地适配更复杂、更刚性的工业物理系统。