AI新策略攻克科学界最棘手数学难题

宾夕法尼亚大学的学者们开发出一种利用人工智能攻克数学界一大顽疾——反偏微分方程——的创新手段。鉴于此类方程对解析复杂系统具有决定性意义，长久以来，如何求解它们一直是数学与计算机领域的极限挑战。

该团队研发的方案被命名为“缓和层”，其核心不在于单纯堆砌算力，而是通过优化底层算法逻辑，增强人工智能处理此类问题的效能。这一技术潜力巨大，无论是在解析基因表达还是提升天气预报精度方面，均展现出广阔的应用前景。

“破解逆问题好比在池塘中看到涟漪，进而反向推演石子的落点，”材料科学与工程系爱德华多·D·格兰特杰出教授、发表于《机器学习研究学报》（TMLR）的论文资深作者维韦克·舍诺伊解释道。这项研究将在神经信息处理系统会议（NeurIPS 2026）上亮相。“结果显而易见，难点在于从现象推导出背后的成因。”

研究人员并未寄望于硬件升级，而是致力于底层数学层面的革新。“当今人工智能多依赖算力堆叠来实现进步，”材料科学与工程系博士候选人、该研究共同第一作者维纳亚克·维纳亚克指出，“然而，面对某些科学挑战，更优的数学算法往往比单纯的算力更关键。”

逆偏微分方程为何在科学研究中占据核心地位

微分方程构成了科学建模的基石，它们描绘了系统随时间演变的规律，涵盖人口变迁、热传导及化学反应等诸多方面。

偏微分方程进一步拓展了这一维度，能刻画系统在时空维度的演化。科学家们利用此类方程探究从气象模式到物质热传导，乃至DNA在细胞内的空间排列等广泛课题。

逆偏微分方程则更进一步，它不依赖既定规则预测结果，而是允许科研人员基于观测数据逆向推导，从而揭示驱动这些现象的潜在机制。

“多年来，我们利用这些方程研究活细胞内染色质（即细胞核中DNA的折叠形态）的组织规律，”舍诺伊表示。“但困境依旧：我们能观测结构并模拟其生成，却难以准确推断驱动系统的表观遗传过程，即控制基因活性的化学变化。随着现有方法的不断优化，我们愈发认识到，数学理论本身亟待革新。”

重新审视人工智能如何应对复杂数学难题

这类方程的核心概念在于微分，即衡量事物变化率。基础导数展示增减速率，而高阶导数则捕捉更复杂的动态模式。

传统上，AI系统采用递归自动微分来计算导数，该过程需反复测算数据在神经网络（现代AI的基石）中流动时的变化。

然而，该方法在处理复杂系统及噪声数据时面临挑战，易出现不稳定，且消耗大量算力资源。

研究人员将其比作反复放大粗糙线条，每一步都会放大瑕疵，降低结果可靠性。为解决此问题，团队意识到需在分析前对数据进行平滑处理。

缓和层提供更智能的解决之道

答案源于数学家库尔特·奥托·弗里德里希斯在20世纪40年代提出的“平滑器”概念，这是一种旨在平滑不规则或噪声函数的工具。

研究者借鉴此理念，在AI模型中构建了“平滑层”。该层在计算变化前对输入数据进行平滑，规避了传统方法的不稳定性。

“起初我们怀疑是网络架构问题，”论文共同第一作者、宾夕法尼亚大学工程学院科学计算硕士阿南亚·库马尔·巴塔里表示，“但在仔细调整后，发现瓶颈在于递归自动微分本身。”

结果显著：新方法有效降低了噪声，并大幅缩减了求解方程的计算成本。

引入“平滑层”在测量信号前进行平滑，显著降低了噪声与功耗。“这让我们能更可靠地求解方程，同时减轻计算负担，”巴塔里补充道。

揭示DNA组织结构的奥秘

该方法最具潜力的应用之一在于解析染色质，即细胞内DNA与蛋白质构成的复杂结构。

这些结构虽运作于极微观尺度，却对基因的开关调控起着决定性作用。

“这些区域仅100纳米宽，”舍诺伊指出，“因其可及性决定基因表达，进而控制细胞身份、功能、衰老及疾病，故而在生物与健康领域意义非凡。”

通过估算控制基因活性的表观遗传反应速率，这项新AI技术助科学家超越单纯观测，实现染色质随时间演变的预测。

维纳亚克补充：“若能追踪反应速率在衰老、癌症或发育中的变化，将为新疗法开辟可能：若速率控制染色质与细胞命运，调整速率即可将细胞重定向至理想状态。”

超越生物学：广泛的科学应用

缓和层的应用远不止于遗传学。材料科学和流体动力学等领域同样涉及复杂方程与噪声数据。

这一新框架为发现各类系统中的隐藏参数提供了更稳定、高效的途径。

研究人员视此为迈向更大目标的一步：将观测结果转化为深刻理解。

“最终目标是透过复杂模式揭示其生成规则，”舍诺伊表示，“理解了支配系统的规则，便能改变它。”

本研究由宾夕法尼亚大学工程与应用科学学院开展，获以下机构资助：美国国家癌症研究所 (NCI) 奖 U54CA261694 (VBS)；美国国家科学基金会 (NSF) 工程机械生物学中心 (CEMB) 拨款 CMMI -154857 (VBS)；NSF 拨款 DMS -2347834 (VBS)；美国国家生物医学影像与生物工程研究所 (NIBIB) 奖 R01EB017753 (VBS) 和 R01EB030876 (VBS)；以及美国国家普通医学科学研究所 (NIGMS) 奖 R01GM155943 (VBS)。