相场智能建模与高性能计算融合探索
本课程聚焦于“相场方法+物理信息神经网络”的多尺度建模体系，构建面向材料界面演化、相变动力学及结构断裂问题的智能计算方法。课程以相场理论和相场法为物理基础，系统讲解界面演化建模方法、自由能理论与控制方程，并融合数值计算与机器学习技术，打造从“物理建模—数值求解—数据驱动学习—智能代理模型”的完整技术链条。通过掌握弥散界面思想、相场变量演化机制及自由能驱动的界面动力学过程，学习者可掌握复杂材料系统中微结构形成与演化的基本建模方法。
课程内容首先介绍相场理论与数值计算基础，包括相场变量建模思路、自由能泛函构建、Allen–Cahn与Cahn–Hilliard方程等典型相场动力学模型，以及有限差分、有限元和谱方法等数值求解技术。在此基础上，课程引入材料微结构演化模拟案例，如晶粒生长、相分离与枝晶生长过程，帮助学习者理解相场模型在材料设计与性能预测中的应用。通过学习，学生可建立从物理机制到计算模拟的系统性认知，理解传统数值方法在复杂界面问题中的计算挑战。
在智能计算方法方面，课程进一步介绍物理信息神经网络（PINN）及图神经网络（GNN）在相场问题中的应用，通过自动微分与物理约束损失函数，将偏微分方程与深度学习模型结合，实现复杂界面演化问题的无网格求解。同时，课程讲解Graph Transformer在材料系统建模中的应用方法，通过图结构表示有限元网格与材料拓扑关系，并利用代理模型实现复杂物理系统的快速预测。通过理论分析、算法推导与案例研究结合，帮助学习者建立从传统数值模拟到AI驱动物理建模的整体技术框架，推动材料计算模拟向智能化、高效化与可扩展化发展。
授课内容包括:
主题1：相场方法基础与界面问题建模
主题3: Allen–Cahn方程与相场动力学
课程背景：
随着先进材料与复杂结构系统在航空航天、能源工程及微纳器件中的广泛应用，材料内部界面演化与微结构变化成为影响材料性能与结构可靠性的关键因素。诸如相分离、晶粒生长、相变及裂纹扩展等过程通常伴随复杂的界面迁移与多尺度物理耦合现象，使传统基于显式界面追踪的建模方法在处理复杂界面拓扑变化时面临较大困难。相场方法通过引入连续相场变量，将原本具有几何不连续性的界面问题转化为连续场变量问题，从而在统一数学框架下描述界面形成、迁移与相互作用过程。由于该方法能自然处理界面分裂、合并及复杂形态演化问题，相场模型已成为材料微结构演化与断裂问题研究中的重要计算工具。
在计算建模层面，相场模型通常由一组复杂偏微分方程所描述，如Allen–Cahn或Cahn–Hilliard方程等。这类方程需通过有限差分、有限元或谱方法进行数值离散求解，并结合能量最小化或时间积分方法模拟界面演化过程。然而，为准确捕捉界面区域的高梯度变化，数值计算往往需要较高的空间分辨率与较小的时间步长，导致计算规模和计算成本迅速增加。当问题进一步扩展到复杂几何结构、多尺度材料或多物理场耦合系统时，传统基于网格的数值求解方法在计算效率与可扩展性方面面临显著挑战。因此，在保持物理一致性的前提下提升计算效率，并发展更具扩展性的建模方法，成为现代计算材料科学与计算力学研究的重要方向。
近年来，人工智能与深度学习技术为复杂物理系统建模提供了新的研究思路。物理信息神经网络（PINN）通过自动微分技术将偏微分方程残差嵌入神经网络训练过程，使模型能够在无网格条件下学习物理场变量的时空演化；物理增强神经网络通过在模型结构或损失函数中引入能量泛函与物理约束，提高预测结果的物理一致性；图神经网络（GNN）则利用有限元网格或材料拓扑结构构建图模型，实现复杂结构系统的高效建模与预测。同时，基于注意力机制的Graph Transformer模型能够构建高精度代理模型，对复杂物理系统进行快速仿真与长期演化预测。随着这些方法的发展，计算材料模拟正逐渐从传统“物理建模—数值求解”的计算模式，向“物理约束学习—代理模型—智能预测”的新型计算范式转变，为复杂材料系统的界面演化分析与材料设计提供了新的技术路径。
课程目标：
本课程旨在建立学习者面向材料界面演化与微结构动力学问题的系统建模能力，使其不仅掌握相场方法在界面演化与相变问题中的基本理论，还能够理解复杂材料系统中的物理建模方法，并具备将人工智能技术应用于物理建模与计算模拟的能力。通过本课程学习，学生将理解相场变量与弥散界面的物理含义，掌握自由能泛函构建、Allen–Cahn与Cahn–Hilliard方程等典型相场模型的理论基础，并能够理解界面迁移、相分离与微结构演化等物理过程的动力学机制。同时，学生将学习如何将界面问题转化为偏微分方程模型，并理解数值离散与计算求解在相场模拟中的基本作用，从而建立从物理建模—数学模型—数值求解的系统认知框架。
在计算建模能力方面，学生将能够理解相场方程数值求解中的基本计算方法与算法结构，例如有限差分、有限元及谱方法等离散技术，并掌握界面厚度控制、时间积分策略以及稳定性分析等关键数值问题。同时，课程将系统介绍机器学习在物理建模中的应用方法，包括物理信息神经网络（PINN）通过自动微分求解偏微分方程、物理增强神经网络通过嵌入能量泛函提高模型物理一致性，以及图神经网络（GNN）对复杂材料拓扑结构进行建模的方法。此外，学生还将学习Graph Transformer在复杂物理系统代理建模中的应用，从而理解如何利用深度学习构建快速预测模型并加速物理模拟过程。通过这些内容，学生能够理解“物理建模+数据驱动学习”的混合计算框架，并掌握利用人工智能方法辅助复杂物理系统建模的基本思路。
课程最终目标是培养兼具材料计算建模能力、数值模拟方法基础以及人工智能算法素养的复合型研究与工程人才，使学习者能够在复杂材料系统与多物理场问题中构建高效、可扩展的智能计算模型。通过理解相场理论与机器学习方法的融合机制，学生将具备将传统计算模拟方法与现代AI技术相结合的能力，推动材料计算模拟从传统“数值求解驱动”向“数据驱动+物理约束学习”的新型计算范式转变，为材料设计、微结构预测以及复杂工程系统建模提供新的技术路径。
授课教师：
本课程由来自高水平高校材料计算与智能科学计算实验室的教师主讲，长期从事相场建模、计算材料科学与物理约束机器学习的交叉研究。研究方向涵盖：基于相场理论的界面演化与材料微结构动力学模拟、物理信息神经网络（PINN）求解相场偏微分方程问题、物理增强神经网络（Physics-Enhanced Neural Networks）在能量驱动物理系统中的建模方法，以及图神经网络（GNN）与Graph Transformer在复杂材料系统代理建模中的应用。同时，教师在Deep Energy Method与科学机器学习（Scientific Machine Learning）领域开展系统研究，探索“物理模型+深度学习”融合的智能材料计算框架。相关研究成果发表于计算力学与计算材料领域的重要期刊与会议，包括Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering (CMAME)、International Journal for Numerical Methods in Engineering (IJNME)、Engineering Fracture Mechanics、Computational Materials Science等，并在机器学习顶级会议如NeurIPS、ICLR、ICML的科学机器学习方向开展交叉研究。
主题1：相场方法基础与界面问题建模
相场方法（Phase Field Method）是一种描述界面演化问题的重要数学建模方法，在材料科学、流体力学以及多相系统研究中具有广泛应用。该方法通过引入连续变化的相场变量（order parameter），利用弥散界面（diffuse interface）思想描述不同物理相之间的过渡区域，从而避免传统界面追踪方法中复杂的界面定位与拓扑处理问题。在这种框架下，界面不再被视为严格的几何边界，而是通过连续变量在空间中的平滑变化来表示。
在建模过程中，相场变量可以表示不同物理状态，例如固液相、不同晶体结构或不同材料组分。通过构建适当的能量泛函和演化方程，相场模型能够自然描述界面迁移、相分离以及微结构形成等复杂物理过程。该方法的一大优势在于能够自动处理界面合并、分裂等拓扑变化，使其在复杂界面问题中具有良好的适用性。
通过本专题的学习，学生将理解相场变量的物理含义以及弥散界面的基本思想，并掌握如何从实际物理问题出发构建相场模型，为后续相场理论分析和数值求解方法的学习奠定基础。
图1离散裂纹(sharp crack)与 相场扩散裂纹(diffuse crack)表示方式
相场模型通常建立在热力学自由能理论基础之上。系统的总自由能一般由体自由能、界面能以及梯度能项构成，其中体自由能描述不同相的稳定状态，而梯度能项用于刻画界面区域能量变化。通过构建自由能泛函，可以将材料微结构演化问题转化为系统能量最小化问题，从而建立相场理论与热力学原理之间的联系。
在数学上，相场控制方程通常通过对自由能泛函进行变分得到。根据序参量是否守恒，可以得到不同类型的演化方程，例如Allen–Cahn方程用于描述非守恒序参量系统，而Cahn–Hilliard方程则用于描述质量守恒的相分离过程。这些方程反映了系统在自由能驱动下逐渐向稳定结构演化的动力学机制。
通过本专题的学习，学生将理解相场模型中自由能泛函的构建方法，并掌握如何利用变分原理推导控制方程，从而建立相场变量演化与系统能量变化之间的理论联系。
主题3: Allen–Cahn方程与相场动力学
Allen–Cahn方程是描述非守恒序参量相变过程的重要相场模型，在材料微结构演化研究中具有广泛应用。该方程通常