OpenAI破解八十年数学难题：单位距离猜想终被推翻

1946年，数学家保罗·爱尔特希在《美国数学月刊》上发表了一篇简短的文章。他在文中提出了一个问题。

问题的具体内容我稍后再详细解释，你只需先了解两点：

其一，他随手给出了一个最为朴素的答案——如同在方格纸上绘制点阵一般，极为简单。随后他推测，或许最优情形也不过如此，难以更进一步。

其二，八十载光阴流逝，无人能够证伪，亦无人能彻底证实。

无数代数学家前赴后继。有人自上而下——试图证明"至多达到此数"，却止步不前。有人自下而上——试图构造出优于爱尔特希的方案，同样陷入困境。四十年前曾有人将上限略微推进，此后便再无进展。

众多学者已逐渐倾向于认同爱尔特希的预判。

直至2026年5月20日，一个全然出乎意料的解答者横空出世。

并非某位数学奇才，亦非顶尖学府的研究团队，而是OpenAI旗下一款模型，在毫无人类介入的情形下，独立完成了这一证明——它颠覆了爱尔特希的猜想，给出了确凿的反例：存在无穷多个n，能够构造出远超爱尔特希所设想规模的点对阵列。

我需要先声明，此文并非那种"AI再度进化"的空洞感叹。我已将围绕该证明的三份原始资料悉数研读。一为OpenAI最终发布的证明论文，共18页，简洁严谨，堪比任何顶级数学期刊的刊载水准。二为数学家评述，由九位顶尖学者联名撰写，包括W.T.高尔斯、雅各布·齐默尔曼、梅兰妮·马切特·伍德，他们消化了AI的证明并赋予人类视角的阐释。三为长达123页的AI思维链，记录了该模型从接题到输出完整答案的每一步推理轨迹。

123页。宛如一位数学博士生昼夜不息地思索，将所有尝试的路径、碰壁的经历、绕行的曲折，悉数记录于纸上。

而真正令我坐下来深究的，是一个核心问题。AI究竟如何破解此题？这属于真正的原创突破，抑或仅仅是重走前人之路，只是前人未能坚持到底？

先厘清问题本身。其实极为直观，取一张纸、一支笔即可理解。纸上绘制n个点——随意放置，可重叠、可分散，完全自由——继而统计距离恰好为1厘米的点对数量。

核心问题为：给定n个点，最多能造就多少对"恰好相距1厘米"的点？

听来似乎颇为简单对吧。以5点为例，最多存在10对组合，此为上限。难点在于几何约束——距离须严格等于1，不可随意摆放。

尝试在纸上画出相距1厘米的两点，轻而易举。加入第三点，使三点两两间距皆为1厘米，即构成等边三角形，亦属简单。增至第四点——欲使四点两两间距均为1厘米，平面内断无可能，因仅三维空间中的正四面体方能实现，平面上至多三条边可同时等于1。

故而问题瞬间变得棘手。需在一个含n个点的图形中，令尽可能多的边"恰好为单位长度"。

爱尔特希于1946年提供了一种巧妙的基准构造：在纸上以整数绘制√n×√n的网格，近似于方格本上的正方形阵列。随后以特定长度为半径作圆——例如整数5，可表示为1²+2²，亦可表示为2²+1²，意味着能以两种不同方式构造"斜边等于√5"的直角三角形——将网格中落于圆上的所有点挑出，其间距离恰好等于1者，数量颇为可观，约为n^{1+c/loglogn}。

该构造在思维链文档的前几页中被AI完整重推，其一上来便先行理解了这一经典方法。

此构造所能达到的最优程度约为n^{1.1}或n^{1.05}——指数略大于1但增幅有限，且随着n增大，指数将愈发趋近于1，永难固定于某个大于1的常数之上。

可如此理解：于沙滩上堆砌城堡，每次潮水涨涌，城堡便缩减一分。爱尔特希的构造恰似一座每逢潮水必被侵蚀的沙堡——点越多，指数越逼近于1，始终无法获得一个"坚如磐石"的大于1的指数。

爱尔特希猜测：任何构造均无法逾越此界限。换言之，无论以何种方式排列n个点，单位距离对的数量至多不过n乘以一个缓慢增长的因子，绝无可能达到n^{1.01}、n^{1.05}这种量级——那个"o(1)"的微小余项将无限趋近于0，永远无法化作"δ"这般固定的正数。

八十年来，最杰出的数学家皆曾尝试。1984年，斯宾塞、塞迈雷迪与特罗特将上界证明推进至O(n^{4/3})≈n^{1.333}，此后便再无人能更进一步。大多数专家开始相信爱尔特希正确——因其看似确实无误。

直至2025年，一个全然出乎意料的解答者出现了。

思维链的前数十页，读来极具"人情味"。

AI所面对的问题极为纯粹。PDF中包含一句完整的陈述，OpenAI取出的原文为：你要么证明爱尔特希正确，要么证伪之。

随后AI便展开自我对话。

它先尝试了最为直接的思路，能否运用图论中的交叉引理或关联界实现突破？分析后认为不可，这些方法仅能到达O(n^{4/3})。

继而它尝试了超立方体构造，取d个单位向量，求其所有子集和。如此可得2^d个点，每点与相差一个单位向量的另一点间距为1，故约有d·2^{d-1}条边。但n=2^d，因此边数约为½n log₂n。这与爱尔特希构造的n^{c/loglogn}相去甚远，因后者呈指数增长，前者仅为对数级。

它又尝试了分圆域，以单位圆上的m次单位根作为方向构造格点。计算后发现单位根数量与域的度数之比至多为O(loglog m)，仍不及经典构造。

它尝试了S-单位，尝试了代数数域中的幂次。

悉数失败。

思维链中有一段令我印象尤深。AI在连续淘汰数个方案后，写下了一段自我追问

「Maybe cycles give algebraic control over directions. Along every cycle in the unit-distance graph there is a relation... A graph of average degree d contains a cycle of length O(logn/logd)... Short vanishing sums of roots of unity are highly constrained by Mann-type theorems. Unfortunately our directions are arbitrary points of the unit circle, not roots of unity...」

「或许环能对方向施加代数控制。沿单位距离图中的每个环，皆存在一种关系……平均度为d的图包含长度为O(logn/logd)的环……单位根的短零和受到晓曼型定理的严格约束。遗憾的是，我们的方向乃单位圆上的任意点，非单位根……」

你能深切体会那种困顿之感。它将所有可想到的几何方法逐一尝试，图论、加法组合、代数方法，全部碰壁。宛如一位研究生端坐书桌前，草稿纸散落满地。

随后它转换了方向。

思维链进入第6页。AI此前始终在探讨代数数域，认为将问题代数化或许有益，但很快又意识到常规的代数化只会令问题愈发复杂，因代数数域的度数与高度将庞大得惊人。

随后我读到了这句话

也许那个巨大的度数不只是一个麻烦，而是一种可能反例的