AI 赋能相场法：重塑材料微结构智能计算
本课程聚焦于“相场理论融合物理信息神经网络”的多尺度建模范式，致力于打造一套专攻材料界面演变、相变机理及结构断裂的智能计算体系。课程紧扣相变机理与相场法这两大物理基石，详尽阐述界面演化建模策略、自由能原理及核心控制方程，并深度融合数值算法与机器学习技艺，打通从“物理机理构建—数值离散求解—数据驱动训练—智能代理预测”的全流程技术闭环。透过对弥散界面理念、相场变量演变逻辑以及自由能主导的界面动态过程的深入剖析，学员将精通复杂材料体系内微结构生成与演化的核心建模技艺。
课程体系首阶段夯实相场理论与数值计算根基，涵盖相场变量建模理念、自由能泛函搭建、Allen–Cahn 与 Cahn–Hilliard 等经典相场动力学方程，以及有限差分、有限元和谱方法等数值求解技艺。以此为基，课程引入晶粒长大、相分离及枝晶生长等材料微结构演化实例，助学员洞悉相场模型在材料研发与性能预判中的实战应用。经由此番研习，学子不仅能构建起从物理本源至计算模拟的系统认知，更能深刻领悟传统数值手段在处理复杂界面难题时的瓶颈所在。
聚焦智能计算前沿，课程深入剖析物理信息神经网络（PINN）及其增强型变体在相场难题中的实战应用，借助自动微分技术与物理约束损失函数，巧妙耦合偏微分方程与深度学习架构，达成复杂界面演化问题的无网格化求解。此外，课程还将阐释图神经网络（GNN）与 Graph Transformer 在材料系统建模中的创新用法，利用图结构映射有限元网格与材料拓扑关联，依托代理模型实现复杂物理系统的极速预测。融汇理论推演、算法推导与案例实证，助力学员构筑从传统数值模拟迈向 AI 驱动物理建模的宏大技术框架，进而助推材料计算模拟向智能化、高效能及高可扩展性方向跃迁。
授课范畴涵盖:
主题 1：相场法基石与界面难题建模
主题 3: Allen–Cahn 方程与相场动态演化
课程缘起：
伴随先进材料与复杂结构体系在航空航天、能源动力及微纳器件等领域的深度渗透，材料内部界面演变与微结构变迁已跃升为制约材料效能与结构可靠性的核心要素。诸如相分离、晶粒粗化、相变转化及裂纹扩展等现象，往往伴生着繁复的界面迁移与多尺度物理耦合效应，致使传统依赖显式界面追踪的建模手段在面对复杂界面拓扑剧变时显得捉襟见肘。相场法通过引入连续相场变量，将原本几何不连续的界面难题转化为连续场变量议题，从而在统一的数学框架内精准刻画界面的生成、迁移及交互全过程。鉴于该方法能自然驾驭界面的分裂、融合及复杂形态演变，相场模型已然成为探究材料微结构演化与断裂机理的关键计算利器。
就计算建模维度而言，相场模型通常由一组高维偏微分方程组所刻画，诸如 Allen–Cahn 或 Cahn–Hilliard 方程等。此类方程需借助有限差分、有限元或谱方法实施数值离散求解，并耦合能量最小化策略或时间积分算法以模拟界面演化轨迹。然而，为精准捕捉界面区域剧烈的梯度波动，数值模拟往往苛求极高的空间分辨率与极小的时间步长，致使计算体量与成本呈指数级攀升。一旦问题拓展至复杂几何构型、多尺度材料体系或多物理场耦合场景，传统基于网格的数值解法在运算效率与可扩展性上便面临严峻考验。故而，在恪守物理一致性的基础上大幅提升运算效能，并研发更具拓展性的建模范式，已成为当代计算材料学与计算力学研究的核心议题。
近年来，人工智能与深度学习浪潮为复杂物理系统建模开启了全新视角。物理信息神经网络（PINN）借由自动微分技艺将偏微分方程残差嵌入神经网络训练闭环，促使模型在无网格环境下习得物理场变量的时空演化规律；物理增强神经网络则通过在模型架构或损失函数中植入能量泛函与物理约束，显著增强预测结果的物理自洽性；图神经网络（GNN）则依托有限元网格或材料拓扑构建图模型，实现复杂结构体系的高效建模与预判。与此同时，基于注意力机制的 Graph Transformer 模型能够构建高精度代理模型，对复杂物理系统执行快速仿真与长周期演化预测。伴随这些技艺的迭代演进，计算材料模拟正逐步从传统的“物理建模—数值求解”范式，向“物理约束学习—代理模型—智能预测”的新兴计算范式转型，为复杂材料系统的界面演化解析与材料设计开辟了崭新路径。
课程宗旨：
本课程志在培育学员面向材料界面演化与微结构动力学难题的系统化建模素养，使其不仅精通相场法在界面演化与相变议题中的核心理论，更能洞悉复杂材料体系内的物理建模法则，并具备将人工智能技艺融入物理建模与计算模拟的实战能力。经由本课程锤炼，学员将透彻理解相场变量与弥散界面的物理内涵，掌握自由能泛函搭建、Allen–Cahn 与 Cahn–Hilliard 方程等经典相场模型的理论根基，并能洞悉界面迁移、相分离及微结构演化等物理过程的动力学机理。同时，学员将习得如何将界面难题转化为偏微分方程模型，并领悟数值离散与计算求解在相场模拟中的基石作用，从而构建起从物理建模—数学模型—数值求解的系统性认知架构。
在计算建模技艺层面，学员将能洞悉相场方程数值求解中的基础算法与架构，诸如有限差分、有限元及谱方法等离散技艺，并掌握界面厚度调控、时间积分策略及稳定性分析等关键数值议题。此外，课程将系统剖析机器学习在物理建模中的实战技法，包括物理信息神经网络（PINN）借自动微分求解偏微分方程、物理增强神经网络借嵌入能量泛函提升模型物理自洽性，以及图神经网络（GNN）对复杂材料拓扑结构的建模之道。更有甚者，学员还将涉猎 Graph Transformer 在复杂物理系统代理建模中的妙用，进而领悟如何 leveraging 深度学习构建快速预测模型以加速物理模拟进程。藉由上述内容，学员将能融会贯通“物理建模 + 数据驱动学习”的混合计算框架，并掌握运用人工智能手段辅助复杂物理系统建模的核心思路。
课程终极愿景在于培育兼具材料计算建模功底、数值模拟方法根基以及人工智能算法素养的复合型科研与工程专才，使学习者能够在复杂材料体系与多物理场难题中构建高效、可扩展的智能计算模型。通过洞悉相场理论与机器学习方法的融合机理，学员将具备将传统计算模拟手段与现代 AI 技艺珠联璧合的能力，推动材料计算模拟从传统“数值求解驱动”向“数据驱动 + 物理约束学习”的新型计算范式跨越，为材料设计、微结构预测及复杂工程系统建模供给全新的技术路径。
授课师资：
本课程由来自顶尖高校材料计算与智能科学计算实验室的资深教师担纲主讲，长期深耕于相场建模、计算材料科学及物理约束机器学习的交叉前沿。其研究视野涵盖：基于相场理论的界面演化与材料微结构动力学模拟、物理信息神经网络（PINN）求解相场偏微分方程难题、物理增强神经网络（Physics-Enhanced Neural Networks）在能量驱动物理系统中的建模策略，以及图神经网络（GNN）与 Graph Transformer 在复杂材料系统代理建模中的创新应用。同时，教师在 Deep Energy Method 与科学机器学习（Scientific Machine Learning）领域开展系统性探索，致力于构建“物理模型 + 深度学习”深度融合的智能材料计算框架。相关学术成果已发表于计算力学与计算材料领域的权威期刊与会议，包括 Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering (CMAME)、International Journal for Numerical Methods in Engineering (IJNME)、Engineering Fracture Mechanics、Computational Materials Science 等，并在 NeurIPS、ICLR、ICML 等机器学习顶级盛会的科学机器学习方向开展了深入的交叉研究。
主题 1：相场法基石与界面难题建模
相场方法（Phase Field Method）乃是一种刻画界面演化难题的关键数学建模利器，在材料科学、流体力学及多相系统研究中应用广泛。该方法通过引入连续演变的相场变量（order parameter），借助弥散界面（diffuse interface）理念描绘不同物理相之间的过渡地带，从而规避了传统界面追踪手段中繁琐的界面定位与拓扑处理难题。在此框架下，界面不再被视作严苛的几何边界，而是通过连续变量在空间维度的平滑过渡来表征。
在建模实践中，相场变量可表征各异的物理状态，例如固液相态、差异化晶体结构或不同材料组分。通过构筑适宜的能量泛函与演化方程，相场模型能够自然复刻界面迁移、相分离以及微结构生成等繁复物理过程。该方法的一大核心优势在于能自动驾驭界面合并、分裂等拓扑剧变，使其在复杂界面难题中展现出卓越的适应性。
透过本专题的研习，学员将洞悉相场变量的物理真谛以及弥散界面的核心理念，并掌握如何从实际物理难题出发构筑相场模型，为后续相场理论剖析与数值求解技艺的修习夯实根基。
图 1 离散裂纹 (sharp crack) 与 相场扩散裂纹 (diffuse crack) 表征方式对比
相场模型通常植根于热力学自由能理论基石之上。系统总自由能一般由体自由能、界面能以及梯度能项交织而成，其中体自由能刻画不同相的稳态特征，而梯度能项则用于描摹界面区域的能量波动。通过构建自由能泛函，可将材料微结构演化难题转化为系统能量最小化议题，从而搭建起相场理论与热力学原理之间的桥梁。
在数学维度，相场控制方程通常系通过对自由能泛函实施变分运算而得。依据序参量是否守恒，可衍生出不同类型的演化方程，例如 Allen–Cahn 方程用于刻画非守恒序参量系统，而 Cahn–Hilliard 方程则专用于描述质量守恒的相分离过程。这些方程深刻反映了系统在自由能驱动下渐次趋向稳定结构的动力学机理。
透过本专题的修习，学员将洞悉相场模型中自由能泛函的构建法则，并掌握如何运用变分原理推导控制方程，进而搭建起相场变量演化与系统能量变迁之间的理论纽带。
主题 3: Allen–Cahn 方程与相场动态演化
Allen–Cahn 方程乃是刻画非守恒序参量相变过程的关键相场模型，在材料微结构演化研究中应用极广。该方程通常